Propriétés trigonométriques Exercices corrigés - Niveau 4
Explorez les propriétés trigonométriques avec nos exercices corrigés ciblés. Devenez un expert et préparez-vous à des défis plus complexes en mathématiques.
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Exercices Corrigés sur les Propriétés Trigonométriques - Niveau 4
Dans cet exercice, nous allons explorer les propriétés trigonométriques du cercle trigonométrique. Vous devrez résoudre les questions suivantes :- 1. Calculez les valeurs exactes de \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\) et \(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)\).
- 2. Déterminez les valeurs de \(\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)\) et \(\sec\left(\frac{\pi}{4}\right)\).
- 3. Trouvez les valeurs de \(\sin(2\theta)\) et \(\cos(2\theta)\) pour \(\theta = 45^\circ\).
- 4. Soit \(A\) un angle tel que \(\sin(A) = \frac{1}{2}\), quel est \(A\) en radians ?
- 5. Résoudre l’équation \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\) sur l'intervalle \([0, 2\pi]\).
- 6. Graphiquement, représentez \(\sin(x)\) et \(\cos(x)\) sur l'intervalle \([0, 2\pi]\).
Règles et Formules Trigonométriques
- Le cercle trigonométrique permet de visualiser les fonctions trigonométriques.
- Les coordonnées d’un point \(P\) sur le cercle de rayon 1 à un angle \(\theta\) sont \((\cos(\theta), \sin(\theta))\).
- Les identités trigonométriques fondamentales sont : \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\).
- Les formules de double angle sont : \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\) et \(\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)\).
- La tangente est définie comme : \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\).
- Les valeurs particulières des fonctions trigonométriques peuvent être mémorisées pour les angles aux multiples de \(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, et \frac{\pi}{3}\).
Indications pour Résoudre les Exercices
- Pour calculer les fonctions trigonométriques, utilisez le cercle trigonométrique.
- Utilisez les valeurs de référence pour les angles connus.
- Pour les équations, cherchez les angles dans le cercle qui répondent à la condition donnée.
- Représentez graphiquement pour visualiser les fonctions et leurs intersections.
Solutions Détailées des Exercices
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Q1: Calculez \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\) et \(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)\).
On sait que \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) (utiliser le cercle).
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Q2: Trouvez \(\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)\) et \(\sec\left(\frac{\pi}{4}\right)\).
\(\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right) = 1\) et \(\sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\).
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Q3: Pour \(\theta = 45^\circ\), \(\sin(2\theta) = 1\) et \(\cos(2\theta) = 0\).
\(2\theta = 90^\circ\) donc \(\sin(90^\circ) = 1\) et \(\cos(90^\circ) = 0\).
- Q4: \(\sin(A) = \frac{1}{2}\) implique \(A = \frac{\pi}{6}\) ou \(A = \frac{5\pi}{6}\).
- Q5: \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\) implique \(x = \frac{2\pi}{3}\) ou \(x = \frac{4\pi}{3}\).
- Q6: Graphiquement, la fonction \(\sin(x)\) est représentée en rouge et \(\cos(x)\) en bleu.
Points Clés à Retenir
- 1. Le cercle trigonométrique aide à visualiser les valeurs des fonctions.
- 2. Les identités fondamentales sont critiques en trigonométrie.
- 3. Les valeurs exactes pour les angles spéciaux doivent être mémorisées.
- 4. La tangente se définit comme le rapport entre le sinus et le cosinus.
- 5. Les équations trigonométriques peuvent avoir plusieurs solutions sur un intervalle.
- 6. En utilisant des graphiques, vous pouvez mieux comprendre le comportement des fonctions.
- 7. Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques.
- 8. La connaissance des angles associés aide à résoudre rapidement des problèmes.
- 9. L'utilisation de diagrammes facilite la mémorisation des propriétés.
- 10. Les formules de double angle sont utiles pour simplifier les calculs.
Définitions Importantes
- Cercle trigonométrique : Un cercle de rayon 1 centré à l'origine, utilisé pour définir les fonctions trigonométriques.
- Fonctions trigonométriques : \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) qui relient les angles d’un triangle aux longueurs de ses côtés.
- Identités trigonométriques : Des égalités qui relient les fonctions trigonométriques entre elles.
- Angle : Mesure de l'ouverture formée par deux rayons partant d'un même point.
- Radians : Une unité d'angle où un angle de 1 radian correspond à un arc de cercle ayant la même longueur que le rayon du cercle.