Maîtriser la Tangente Exercices Corrigés
Étudiez la tangente avec des exercices corrigés pour solidifier votre compréhension et réussir vos examens de mathématiques.
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Exercices Corrigés : Maîtriser la Tangente
Dans cet exercice, nous allons explorer la fonction tangente et ses applications à l'aide de différentes questions. Voici la liste des questions :- Question 1 : Déterminer la période et les asymptotes de la fonction \(\tan(x)\).
- Question 2 : Calculer \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\) et \(\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)\).
- Question 3 : Résoudre l'équation \(\tan(x) = 1\) sur l'intervalle \([0, 2\pi]\).
- Question 4 : Étudier le signe de \(\tan(x)\) sur l'intervalle ouvert \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\).
Règles et Formules Importantes
- La fonction tangente est définie comme : \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).
- La période de la fonction tangente est \(\pi\).
- Les asymptotes verticales de la tangente se trouvent aux points où \(\cos(x) = 0\), c'est-à-dire à \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) pour tout \(k \in \mathbb{Z}\).
- La tangente est positive dans les intervalles \((0, \frac{\pi}{2})\) et \((\pi, \frac{3\pi}{2})\), et négative dans \((-\frac{\pi}{2}, 0)\) et \((\frac{\pi}{2}, \pi)\).
Indications pour Résoudre les Exercices
- Pour déterminer la période, regardez la fonction et trouvez le plus petit intervalle \(T\) tel que \(\tan(x + T) = \tan(x)\).
- Utilisez les valeurs connues de \(\sin\) et \(\cos\) pour calculer les valeurs spécifiques de \(\tan\).
- Pour résoudre une équation, utilisez les relations trigonométriques et les propriétés de périodicité.
- Pour l'étude du signe, tracez le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle donné.
Corrections Détaillées des Questions
Question 1 : Déterminer la période et les asymptotes de la fonction \(\tan(x)\)
La période de \(\tan(x)\) est \(\pi\). Les asymptotes verticales sont données par les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(\cos(x) = 0\), c'est-à-dire :
\(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) où \(k \in \mathbb{Z}\).
graph LRA[Tangente] --> B[Période = \(\pi\)]B --> C[Asymptotes: \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\)]
Question 2 : Calculer \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\) et \(\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)\)
Nous savons que :
\(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\) (car \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\))
Pour \(\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)\) : \(\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1\) car \(\tan(\theta) \text{ est négatif dans le 2e quadrant.}\)
Question 3 : Résoudre l'équation \(\tan(x) = 1\) sur l'intervalle \([0, 2\pi]\)
La solution est :
\(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\) pour \(k = 0, 1\), donc les solutions sont :
\(x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\).
Question 4 : Étudier le signe de \(\tan(x)\) sur l'intervalle \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)
La tangente est positive dans l'intervalle \((0, \frac{\pi}{2})\) et négative dans \((- \frac{\pi}{2}, 0)\).
graph TDA{Signe de \(\tan(x)\)} -->|Négatif| B[Sur \((- \frac{\pi}{2}, 0)\)]A -->|Positif| C[Sur \((0, \frac{\pi}{2})\)]
Points Clés à Retenir
- La fonction tangente est périodique avec une période de \(\pi\).
- Les asymptotes verticales se produisent lorsque \(\cos(x) = 0\).
- Les valeurs clés de tangente sont \(\tan(0) = 0\) et \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\).
- La tangente change de signe entre chaque asymptote.
- Utiliser les identités trigonométriques pour simplifier les calculs.
- Les radians sont la forme standard pour l’argument des fonctions trigonométriques.
- Les solutions de \(\tan(x) = k\) dépendent de l'intervalle considéré.
- Il est utile de dessiner les graphes pour comprendre le comportement des fonctions.
- Rappelez-vous que la tangente a des asymptotes tous les \(\pi\) unités.
- Exercez-vous avec des valeurs particulières pour bien comprendre.
Définitions des Termes Utilisés
- Fonction Tangente : Une fonction trigonométrique qui est le rapport entre le sinus et le cosinus, notée \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).
- Période : Le plus petit intervalle \(T\) pour lequel \(\tan(x + T) = \tan(x)\).
- Asymptote : Une droite que la courbe d’une fonction tend à approcher, mais ne touche jamais.
- Quadrants : Les quatre sections d’un plan cartésien définies par les axes x et y.
- Intervalle : Une plage de valeurs dans laquelle une fonction est étudiée.